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高考数学:解析几何专题热点复习指导

http://www.enorth.com.cn  2008-05-04 10:19
 

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  天津市第四十二中学 张鼎言

  ■g■

  =■+m2

  =2(1-2m)+■+m2

  当m=1时,■g■=-1

  此时C(1,0)

  当AB⊥x轴时,A(2,■)、B(2,-■),

  ■g■=(1,■)·(1,-■)=-1。有同样的定值-1。

  ∴定点C(1,0)为所求

  注:本题对(1)(2)方法的分析、比较,可进一步把握直线与二次曲线相交,不同的条件采用不同的方法。

  4. 已知动圆过定点(■,0),且与直线x=-■相切,其中p>0。

  (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;

  (Ⅱ)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明线AB恒过定点,求出该定点的坐标。

  解:(Ⅰ)设动圆圆心为P(x,y)

  由已知P到定点(■,0)与到直线x=-■的距离相等,这恰是抛物线定义。可知动圆圆心P的轨迹方程为y2=2px(P>0);

  (Ⅱ)设A(■,y1),B(■,y2),直线lOA的倾斜角为α直线lOB的倾斜角β,α+β=θ(定值),tanα=■=■,tanβ=■=■

  直接设直线lAB:y=kx+b

  在y=kx+b中,若k=0,直线lAB∥x轴这不可能,或α=β=0也与α+β=θ>0矛盾,所以k≠0。所以直线lAB与抛物线联立

  ■

  △=4p2-8kpb>0,p>2kb,y1+y2=■,y1·y2=■

  若θ≠■时,

  tanθ=tan(α+β)

  =■=■

  =■=■

  由此求出b=■+2pk,

  y=kx+b=kx+■+2pk

  =k(x+2p)+■

  若x=-2p,y=■,p,tanθ均为定值

  ∴lAB恒过定点(-2p,■)

  若θ=■时,α+β=■,

  tanα·tanβ=1

  tanα·tanβ=■=1

  4p2=y1·y2=■,b=2pk

  y=kx+b=kx+2pk=k(x+2p),直线lAB恒过定点(-2p,0)

  (七)有关角的问题

  复习导引:处理角的问题有两条途径,如第一题用向量数量积的方法。第2题用夹角公式。在解决角的问题时要注意“转化”,如第3题的分析。

  1. 设F1、F2分别是椭圆■+y2=1的左、右焦点。

  (Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求■g■的最大值和最小值;

  (Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围。

  解:(1)a=2,b=1,c=■

  F1(-■,0),F2(■,0),P(x,y),

  ■·■

  =(-■-x,-y)·(■-x,-y)

  =x2+y2-3=x2+1-■-3=■x2-2

  当x=0时,(■·■)min=-2

  当x=±2时,(■·■)max=1

  分析:(2)l为过M(0,2)的直线,y=kx+2

  联立■其交点A(x1,y1)、B(x2,y2)。

  ∵∠AOB为锐角,这是几何条件,可转化为

  ■·■=|■|·|■|·cos∠AOB>0 即x1x2+y1y2>0

  ∴可通过上面的方程组,用根与系数的关系列出关于k的不等式

  ■+(kx+2)2=1

  →(4k2+1)x2+16kx+12=0

  ∴x1+x2=■,x1·x2=■

  △=(16k)2-4(4k2+1)·12>0

  →k<-■或k>■

  x1·x2+y1·y2=(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+4=■>0→-2

  ∴-2

  注: 第(Ⅱ)是用向量数量积的不等量关系表述几何条件∠AOB为锐角,整个解题过程仍然是直线与椭圆相交。

  2. 椭圆■+■=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=■

  (Ⅰ)求椭圆方程;

  (Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF2的中点,求证:∠ATM=∠AF1T。

  解:(Ⅰ)由已知e=■=■→a2=4b2,原椭圆方程简化为■+■=1, 过A、B的直线lAB:■+y=1。

  lAB与椭圆相切■

  →2y2-2y+(1-b2)=0,

  △=0→b2=■

  故所求的椭圆方程为

  ■+■=1。切点T(1,■)。

  (Ⅱ)F1(-■,0),F2(■,0),M(1+■,0)

  kTA=-■ kTM=-■

  kTF1=-1+■

  tan∠ATM=-1+■,tan∠AF1T=-1+■

  又∠ATM、∠AF1T均为锐角

  ∴∠ATM=∠AF1T

  注:本题是用两条直线夹角公式证角等。

  (未完待续)

稿源 北方网 编辑 赵晶
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[413824] 山东省 网友:壮壮 于2008-05-20 12:54 发表评论:

  我的数学成绩一直不理想我很闹心今年高考对我就是一个地狱。我一直想学好这门功课但就是不会咳!还有不到20天考试了我觉的今年完了我该怎么复习。我的qq号是376900051

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