天津市第四十二中学 张鼎言
■g■
=■+m2
=2（1-2m）+■+m2
当m=1时，■g■=-1
此时C（1，0）
当AB⊥x轴时，A（2，■）、B（2，-■），
■g■=（1，■）·（1，-■）=-1。有同样的定值-1。
∴定点C（1，0）为所求
注：本题对（1）（2）方法的分析、比较，可进一步把握直线与二次曲线相交，不同的条件采用不同的方法。
4. 已知动圆过定点（■，0），且与直线x=-■相切，其中p>0。
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（0<θ<π）时，证明线AB恒过定点，求出该定点的坐标。
解：（Ⅰ）设动圆圆心为P（x，y）
由已知P到定点（■，0）与到直线x=-■的距离相等，这恰是抛物线定义。可知动圆圆心P的轨迹方程为y2=2px（P>0）;
（Ⅱ）设A（■，y1），B（■，y2），直线lOA的倾斜角为α直线lOB的倾斜角β，α+β=θ（定值），tanα=■=■，tanβ=■=■
直接设直线lAB:y=kx+b
在y=kx+b中，若k=0，直线lAB∥x轴这不可能，或α=β=0也与α+β=θ>0矛盾，所以k≠0。所以直线lAB与抛物线联立
■
△=4p2-8kpb>0，p>2kb，y1+y2=■，y1·y2=■
若θ≠■时，
tanθ=tan（α+β）
=■=■
=■=■
由此求出b=■+2pk，
y=kx+b=kx+■+2pk
=k（x+2p）+■
若x=-2p，y=■，p，tanθ均为定值
∴lAB恒过定点（-2p，■）
若θ=■时，α+β=■，
tanα·tanβ=1
tanα·tanβ=■=1
4p2=y1·y2=■，b=2pk
y=kx+b=kx+2pk=k（x+2p），直线lAB恒过定点（-2p，0）
（七）有关角的问题
复习导引：处理角的问题有两条途径，如第一题用向量数量积的方法。第2题用夹角公式。在解决角的问题时要注意“转化”，如第3题的分析。
1. 设F1、F2分别是椭圆■+y2=1的左、右焦点。
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求■g■的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。
解：（1）a=2，b=1，c=■
F1（-■，0），F2（■，0），P（x，y），
■·■
=（-■-x，-y）·（■-x，-y）
=x2+y2-3=x2+1-■-3=■x2-2
当x=0时，（■·■）min=-2
当x=±2时，（■·■）max=1
分析:（2）l为过M（0，2）的直线，y=kx+2
联立■其交点A（x1，y1）、B（x2，y2）。
∵∠AOB为锐角，这是几何条件，可转化为
■·■=|■|·|■|·cos∠AOB>0 即x1x2+y1y2>0
∴可通过上面的方程组，用根与系数的关系列出关于k的不等式
■+（kx+2）2=1
→（4k2+1）x2+16kx+12=0
∴x1+x2=■，x1·x2=■
△=（16k）2-4（4k2+1）·12>0
→k<-■或k>■
x1·x2+y1·y2=（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=■>0→-2
∴-2
注： 第（Ⅱ）是用向量数量积的不等量关系表述几何条件∠AOB为锐角，整个解题过程仍然是直线与椭圆相交。
2. 椭圆■+■=1（a>b>0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=■
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T。
解：（Ⅰ）由已知e=■=■→a2=4b2，原椭圆方程简化为■+■=1， 过A、B的直线lAB:■+y=1。
lAB与椭圆相切■
→2y2-2y+（1-b2）=0，
△=0→b2=■
故所求的椭圆方程为
■+■=1。切点T（1，■）。
（Ⅱ）F1（-■，0），F2（■，0），M（1+■，0）
kTA=-■ kTM=-■
kTF1=-1+■
tan∠ATM=-1+■，tan∠AF1T=-1+■
又∠ATM、∠AF1T均为锐角
∴∠ATM=∠AF1T
注：本题是用两条直线夹角公式证角等。
(未完待续)
