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历年中考数学压轴题解析(图)

http://www.enorth.com.cn  2008-05-04 10:19
 

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  新华中学 王洪智

  一年一度的中考即将来临,同学们已经进入紧张的复习阶段。今年是采用新教材的第一年,在二次函数这章里与往年不同的是增加了《用函数观点看一元二次方程》和《实际问题与二次函数》的必修内容,充分体现了数学在实际问题中的应用,压轴题大都与此章有关。在历年的中考试卷中,同学们最感棘手的是最后一题,也称压轴题,它对学生们的基本功要求高,综合性、技巧性强,从而使同学们产生了畏惧心理,有的同学还没有看题就认为自己不会做,从而轻易地放弃解答。要想克服这种负诱导心理,就必须增强自信,弄清基本概念、基本定理,熟练掌握基本功以及各个知识点之间的联系。通常的压轴题多为“递进式”,即在大前提下各问之间都有紧密的联系,由浅入深,由易到难,前一问为下一问埋下伏笔,即使你基本功很差,第一问也是能够解决的,但要注意解决此类题,常常要依赖于前一问的正确结果,因此做随后一题时一定要一步一查,步步为营。今天,我们特邀新华中学王洪智老师对天津2002—2007年的数学中考试卷的压轴题加以分析,供同学们参考。

2002

  已知二次函数y1=x2-2x-3

  (1)结合y1的图象,确定当x取何值时,y1>0,y1=0,y1<0。

  (2)由(1)的结论确定y2=■(|y1|-y1)关于x的解析式。

  (3)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y2的图象交于不同的三个点,确定实数k、b满足的条件。

  [思路点拨](1)利用数形结合思想,考查了一元二次不等式和一元二次方程。x2-2x-3>0,x2-2x-3=0,x2-2x-3<0。(2)分段讨论|y1|=y1(x≤-1或x≥3);|y1|=-y1(-1

  解:(1)y1=x2-2x-3,令y1=0

  ∴x2-2x-3=0 x1=-1,x2=3

  ∴当y1=0时,x=-1或x=3

  当y1>0时,x<-1或x>3

  当y1<0时,-1

  (2)当x≤-1或x≥3时,y1≥0,|y1|=y1

  ∴y2=x2-2x-3-x2+2x+3=0(x轴)

  当-1

  ∴y2=■(-2y1)=-y1=-x2+2x+3

  (3)要使直线与抛物线有三个不同交点,则只需一次函数与y=-x2+2x+3在-1

  y=kx+b

  y2=-x2+2x+3,整理x2+(k-2)x+(b-3)=0……(*),必须满足

  △>0……①

  -1<-■<3……②

  当x1=-1时y>0……③

  当x=3时y>0……④

  由① b<■(k-2)2+3

  由② -4

  由③④ b>k

  b>-3k

  当k>0时     当k<0时

  b>k

  b>-3k

  

  综上所述

  -4

  -3k

  或 0

  k

  [归纳点评]此题的难点为一般直线和抛物线相交有两个或一个或0个交点,如何有三个交点呢?就是因为它是一个分段函数,当x≤-1或x≥3时,y2=0是x轴,此直线与x轴必有一个交点,外加与抛物线的两个交点所以有三个交点,写k、b满足条件时最好画数轴。

  2003

  关于x的方程x2-(p+q+1)x+p=0(q≥0)的二根为α、β,且α<β

  (1)用含α、β的代数式表示p、q

  (2)求证α≤1≤β

  (3)若以α、β为坐标,M(α、β)在△ABC三边上移动且△ABC中A(1,2),B(■,1),C(1,1),问是否存在M,使p+q=■。若存在,求M的坐标,若不存在,说明理由。

  [思路点拨](1)由根与系数的关系x1+x2=-■,x1·x2=■(2)由一根大于等于1,一根小于等于1,需要证明(x1-1)(x2-1)≤0,即x1x2-(x1+x2)+1≤0,把两根积与和代入,得出-q≤0 (3)分类讨论:①当M在BC边上时,利用p+q=■,分别求出α、β值再检验。②当M在AC边上时同法,得出α、β值检验。③当M在AB边上,求出直线AB解析式,再把点代入即可。

  解:(1)由根与系数的关系

  α+β=p+q+1

  α·β=p

  ∴p=αβ,q=α+β-αβ-1

  (2)由(α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1=p-p-q-1+1=-q<0(因为q≥0)

  即(α-1)(β-1)≤0 ∴α≤1≤β

  (3)1°当M(α、β)在BC边上时

  ∵B(■,1),C(1,1)

  ∴■≤α≤1

  ∵β=1,又∵p+q=α+β-1=■

  ∴α+1-1=■,α=■>1

  ∴BC边上不存在M

  2°当M(α、β)在AC边上,A(1,2),C(1,1)得α=1,1≤β≤2

  由α+β-1=■ ∴β=1-α+■=■

  ∴1≤■≤2满足条件

  ∴AC边上存在点M(1,■)

  3°当M在AB边上时,A(1,2), B(■,1)

  ∴直线AB:y=2x,设M(α,2α)

  又∵p+q=α+β-1=■

  ∴α+2α=■,α=■

  β=2α=■ ∴M(■,■)

  ∴在△ABC的AC边和AB边存在M(1,■)和M(■,■)

  [归纳点评]此题难点在第(2)问,若使α≤1≤β,则必有(α-1)(β-1)≤0,第(3)问求AB上的点采用求直线AB的解析式比较简便,减少运算量节省了时间。

  2004

  已知函数y1=2x,y2=x2+1

  (1)根据表中的x值计算y1、y2的值。

  (2)观察(1)中的表在实数范围内对于x的同一个值,这两个函数对应的值y1≤y2成立。

  (3)试问是否存在y3=ax2+bx+c过(-5,2),且在实数范围内对于同一个x值对应的y1≤y3≤y2均成立,若存在求y3,若不存在说明理由。

  [思路点拨](1)代入求值(2)利用比差法看y1-y2的值(3)关键求出a的值,根据条件求出b、c用a表示,把点(-5,2)代入可得一个关系式25a-5b+c=0,再由对于同一x值有y1≤y3≤y2,得a+b+c=2,从而用a表示b、c,再由y1≤y3,y3≤y2定出a的值。

  解:(1)填表  

  (2)y1-y2=2x-x2-1=-(x-1)2≤0

  ∴无论x为何实数均有y1≤y2

  (3)把点(-5,2)代入y3=ax2+bx+c得

  25a-5b+c=2……①

  ∵对于x的同一个值,有y1≤y3≤y2,即当x=1时,y1=2≤a+b+c≤2=y2

  ∴a+b+c=2……②

  由①②得b=4a,c=2-5a

  ∴y3=ax2+4ax+(2-5a)

  由已知y1≤y3

  ∴2x≤ax2+4ax+(2-5a)

  整理:ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0

  a>0

  △≤0

  ∴△=(4a-2)2-4a(2-5a)≤0

  ∴(3a-1)2≤0 ∴a=■

  又由已知y3≤y2

  ∴ax2+4ax+(2-5a)≤x2+1

  整理:(a-1)x2+4ax+(1-5a)≤0

  a-1<0

  △≤0

  △=(4a)2-4(a-1)(1-5a)≤0

  ∴(3a-1)2≤0

  ∴3a-1=0

  a=■ ∵a<1    ∴a=■

  综上所述y3=■x2+■x+■即为所求。

  [归纳点评]此题难点在第(3),第一个a、b、c的关系式比较简单,直接把点代入,而第二个关系式是由表中看出,当x=1时,y1=y2=2,而y3夹在中间,从而可得a+b+c=2,由y1≤y3求出a的值,再由y3≤y2求出a的值,均为■。

  2005

  已知二次函数y=ax2+bx+c

  (1)若a=2,c=-3,且二次函数过(-1,-2),求b

  (2)若a=2,b+c=-2,b>c过(p,-2)点,求证b≥0

  (3)若a+b+c=0,a>b>c,且过(q,-a),试问当自变量x=q+4时y=ax2+bx+c所对应的函数值是否大于0,并证明结论

  [思路点拨](1)把值分别代入即可求b的值。

  (2)把已知条件代入解析式得关于p的方程,再利用“△”讨论b的范围从而证得b≥0。

  (3)由a+b+c=0知二次方程 ax2+bx+c=0必有一根为1,由根与系数的关系可求出q+4的取值范围。再把点(q,-a)代入抛物线解析式,由△≥0可得a>b≥0,从而可求出当x=q+4时y>0。

  解:(1)当a=2,c=-3,y=2x2+bx-3,又过(-1,-2)点 ∴b=1

  (2)当a=2,b+c=-2,二次函数化为y=2x2+bx-(b+2)过(p,-2),把点代入得2p2+bp-b=0 ∴p是此方程的根

  △=b2+8b=b(b+8)

  又     b+c=-2

  b>c

  ∴b>-b-2

  ∴b>-1

  ∴b+8>0 ∴b≥0

  (3)由 a+b+c=0

  a>b>c ∴a>0,c<0

  又知ax2+bx+c=0有一根为1,由根与系数关系

  x1+x2=-■

  x1·x2=■

  不妨设x1=1

  ∴x2=■    又∵过(q,-a)点

  当x=q时,y=-a<0 ∴■

  ∴■+4

  再把点(q,-a)代入抛物线y=ax2+bx+c得aq2+bq+c+a=0 (q为方程的根)

  ∴△=b2-4a(a+c)=b2-4a(-b)=b2+4ab=b(b+4a)=b(3a-c)≥0

  a>0

  c<0

  ∴b≥0 ∵a>b≥0

  2a≥a+b=-c

  2a>-c

  ∴■>-2

  ∴■+4>-2+4=2>1

  ∴q+4>1

  ∴当x=q+4时,y的值大于0

  [归纳点评]难点在(3)采用了数形结合思想,把点(q,-a)代入解析式,当x=q时y=-a<0(∵a>0)

  ∴可知y的值在x轴下方

  即x21,则y>0。

  2006

  已知抛物线y=ax2+bx+c顶点为(2,4)

  (1)试用含a的代数式表示b、c。

  (2)若直线y=kx+4(k≠0)与y轴及抛物线依次交于D、E、F且

  S△ODE:S△OEF=1:3,O为坐标原点,试用含a的代数式表示k。

  (3)在(2)的条件下若线段EF的长为m,且满足3■≤m≤3■,试确定a的取值范围。

  [思路点拨](1)把顶点代入即可求得b=-4a,c=4a+4(2)直线和抛物线相交联立解方程组设出E、F的坐标,把面积比S△ODE:S△OEF=1:3可化为xE:xF=1:4,从而确定k的值。

  (3)分类讨论,由(2)得k=a或k=-9a,m2=EF2=(xE-xF)2+(yE-yF)2代入3■≤m≤3■,从而定出a的范围。

  解:(1)∵顶点为(2,4),设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+4=ax2-4ax+4a+4

  ∴b=-4a,c=4a+4

  (2)直线与抛物线相交

  y=kx+4

  y=ax2-4ax+4a+4

  整理:ax2-(4a+k)x+4a=0……(*)

  设E(xE,yE),F(xF,yF)

  xE+xF=■……①

  xE·xF=4……②

  由②知xE、xF同号

  S△ODE:S△OEF=1:3即S△ODE:S△ODF=1:4

  ■OD·|xE|:■OD·|xF|=1:4

  ∴xE:xF=1:4,把xF=4xE代入②

  解得xF=4,xE=1或xF=-4,xE=-1

  ∴由①■=±5

  ∴k=a或k=-9a

  经检验k=a,k=-9a,△>0,是方程(*)的根。

  (3)由勾股定理m2=(xF-xE)2+(yF-yE)2

  而(xF-xE)2=9

  由yF=kxF+4,yE=kxE+4得(yF-yE)2=k2(xF-xE)2=9k2

  ∴m2=9(1+k2) ∴m=3■

  由已知3■≤m≤3■

  ∴■≤■≤■,即1≤k2≤4

  ∴1≤k≤2或-2≤k≤-1

  当k=a时,有1≤a≤2或-2≤a≤-1

  当k=-9a时有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1

  即-■≤a≤-■,或■≤a≤■

  [归纳点评]第(2)还可以用两点间距离公式,有E(xE,yE),F(xF,yF),则m=EF=■,直接代入3■≤m≤3■,可求a的范围。

  2007

  已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1、x2,且满足x1>0,x2-x1>1

  (1)证明c>0

  (2)证明b2>2(b+2c)

  (3)对于二次函数y=x2+bx+c,若自变量取值为x0,其对应的值为y0,当0

  [思路点拨](1)把方程化为一般式,再由根与系数的关系及已知条件可得c>0(2)由根的判别式△>0可得(3)把(x0,y0)代入抛物线解析式,把x1代入方程,再用比差法即y0-x1的正负来确定。

  解:(1)把方程化为x2+(b-1)x+c=0

  x1+x2=1-b,x1·x2=c……①

  由已知x1>0,x2-x1>1

  ∴x2>x1+1>0……②

  由①②知c>0

  (2)方程x2+(b-1)x+c=0

  x1、x2为不等实根

  ∴△=(b-1)2-4c>0

  b2>2b+4c=2(b+2c)

  (3)当0x1

  把(x0,y0)代入抛物线解析式y0=x02+bx0+c

  把x1代入方程x1=x12+bx1+c

  y0-x1=x02-x12+b(x0-x1)=(x0-x1)(x0+x1+b)

  由已知x0

  又∵x2-x1>1 ∴x2>x1+1

  两边同加x1得

  x1+x2>2x1+1(x1+x2=1-b)

  ∴1-b>2x1+1,2x1+b<0(∵0

  ∴y0-x1>0 ∴y0>x1

  [归纳点评]第(2)问可采用2007年标答上的方法,同学们对照看哪种简单,第(3)问用比差法。

  以上是我们对压轴题的分析,有的采用了与标答不同的解法,仅供参考。

  ∴

  {

  {

  ∴b>k

  {

  {

  {

  {

  {

  ∴b>-3k

  b>k

  b>-3k

  x    -3 -2 -1 0 1 2 3

  y1=2x -6 -4 -2 0 2 4 6

  y2=x2+1 10 5 2 1 2 5 10

  x    -3 -2 -1 0 1 2 3

  y1=2x

  y2=x2+1

  ∴

  {

  ∴

  {

  {

  {

  ∵

  {

  ∵

  {

  {

  ∴3a-c>0

  ∴

  {

  {

稿源 北方网 编辑 赵晶
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[5063484] 陕西省 网友: 于2010-12-06 18:47 发表评论:
额 我还在上册呢 没必要这么夸张丫
[959226] 湖北省 网友: 于2010-03-29 22:29 发表评论:

  很好!

[750963] 江苏省 网友: 于2009-07-14 16:53 发表评论:

  这英语题好难......

[745147] 云南省 网友: 于2009-07-02 21:13 发表评论:

  好复杂!看不懂

[741149] 河南省 网友:BB擦擦 于2009-06-25 18:05 发表评论:

  有一些微微的 -----简单````

[732387] 广东省 网友:小草 于2009-06-16 13:31 发表评论:

  题目不是太难,更难的我都见过,只要静下心慢慢想其实很简单.祝大家中考顺利.

[724422] 江苏省 网友:星星 于2009-06-06 12:42 发表评论:

  题目很好,但太难了!

[724421] 江苏省 网友:星星 于2009-06-06 12:41 发表评论:

  很不好!

[705986] 广东省 网友:恐惧~~ 于2009-05-31 16:26 发表评论:

  刚刚看完第1题还好看得懂 不过还有一些疑问晕!!

[696967] 云南省 网友:莹莹 于2009-05-28 00:00 发表评论:

  看不懂啦!!!5555

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