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新华中学 王洪智
一年一度的中考即将来临，同学们已经进入紧张的复习阶段。今年是采用新教材的第一年，在二次函数这章里与往年不同的是增加了《用函数观点看一元二次方程》和《实际问题与二次函数》的必修内容，充分体现了数学在实际问题中的应用，压轴题大都与此章有关。在历年的中考试卷中，同学们最感棘手的是最后一题，也称压轴题，它对学生们的基本功要求高，综合性、技巧性强，从而使同学们产生了畏惧心理，有的同学还没有看题就认为自己不会做，从而轻易地放弃解答。要想克服这种负诱导心理，就必须增强自信，弄清基本概念、基本定理，熟练掌握基本功以及各个知识点之间的联系。通常的压轴题多为“递进式”，即在大前提下各问之间都有紧密的联系，由浅入深，由易到难，前一问为下一问埋下伏笔，即使你基本功很差，第一问也是能够解决的，但要注意解决此类题，常常要依赖于前一问的正确结果，因此做随后一题时一定要一步一查，步步为营。今天，我们特邀新华中学王洪智老师对天津2002—2007年的数学中考试卷的压轴题加以分析，供同学们参考。
2002
已知二次函数y1=x2-2x-3
（1）结合y1的图象，确定当x取何值时，y1>0，y1=0，y1<0。
（2）由（1）的结论确定y2=■（|y1|-y1）关于x的解析式。
（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y2的图象交于不同的三个点，确定实数k、b满足的条件。
[思路点拨]（1）利用数形结合思想，考查了一元二次不等式和一元二次方程。x2-2x-3>0，x2-2x-3=0，x2-2x-3<0。（2）分段讨论|y1|=y1（x≤-1或x≥3）；|y1|=-y1（-1
解：（1）y1=x2-2x-3，令y1=0
∴x2-2x-3=0 x1=-1，x2=3
∴当y1=0时，x=-1或x=3
当y1>0时，x<-1或x>3
当y1<0时，-1
（2）当x≤-1或x≥3时，y1≥0，|y1|=y1
∴y2=x2-2x-3-x2+2x+3=0（x轴）
当-1
∴y2=■（-2y1）=-y1=-x2+2x+3
（3）要使直线与抛物线有三个不同交点，则只需一次函数与y=-x2+2x+3在-1
y=kx+b
y2=-x2+2x+3，整理x2+（k-2）x+（b-3）=0……（*），必须满足
△>0……①
-1<-■<3……②
当x1=-1时y>0……③
当x=3时y>0……④
由① b<■（k-2）2+3
由② -4
由③④ b>k
b>-3k
当k>0时 当k<0时
b>k
b>-3k
综上所述
-4
-3k
或 0
k
[归纳点评]此题的难点为一般直线和抛物线相交有两个或一个或0个交点，如何有三个交点呢？就是因为它是一个分段函数，当x≤-1或x≥3时，y2=0是x轴，此直线与x轴必有一个交点，外加与抛物线的两个交点所以有三个交点，写k、b满足条件时最好画数轴。
2003
关于x的方程x2-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的二根为α、β，且α<β
（1）用含α、β的代数式表示p、q
（2）求证α≤1≤β
（3）若以α、β为坐标，M（α、β）在△ABC三边上移动且△ABC中A（1，2），B（■，1），C（1，1），问是否存在M，使p+q=■。若存在，求M的坐标，若不存在，说明理由。
[思路点拨]（1）由根与系数的关系x1+x2=-■，x1·x2=■（2）由一根大于等于1，一根小于等于1，需要证明（x1-1）（x2-1）≤0，即x1x2-（x1+x2）+1≤0，把两根积与和代入，得出-q≤0 （3）分类讨论：①当M在BC边上时，利用p+q=■，分别求出α、β值再检验。②当M在AC边上时同法，得出α、β值检验。③当M在AB边上，求出直线AB解析式，再把点代入即可。
解：（1）由根与系数的关系
α+β=p+q+1
α·β=p
∴p=αβ，q=α+β-αβ-1
（2）由（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=p-p-q-1+1=-q<0（因为q≥0）
即（α-1）（β-1）≤0 ∴α≤1≤β
（3）1°当M（α、β）在BC边上时
∵B（■，1），C（1，1）
∴■≤α≤1
∵β=1，又∵p+q=α+β-1=■
∴α+1-1=■，α=■>1
∴BC边上不存在M
2°当M（α、β）在AC边上，A（1，2），C（1，1）得α=1，1≤β≤2
由α+β-1=■ ∴β=1-α+■=■
∴1≤■≤2满足条件
∴AC边上存在点M（1，■）
3°当M在AB边上时，A（1，2）， B（■，1）
∴直线AB：y=2x，设M（α，2α）
又∵p+q=α+β-1=■
∴α+2α=■，α=■
β=2α=■ ∴M（■，■）
∴在△ABC的AC边和AB边存在M（1，■）和M（■，■）
[归纳点评]此题难点在第（2）问，若使α≤1≤β，则必有（α-1）（β-1）≤0，第（3）问求AB上的点采用求直线AB的解析式比较简便，减少运算量节省了时间。
2004
已知函数y1=2x，y2=x2+1
（1）根据表中的x值计算y1、y2的值。
（2）观察（1）中的表在实数范围内对于x的同一个值，这两个函数对应的值y1≤y2成立。
（3）试问是否存在y3=ax2+bx+c过（-5，2），且在实数范围内对于同一个x值对应的y1≤y3≤y2均成立，若存在求y3，若不存在说明理由。
[思路点拨]（1）代入求值（2）利用比差法看y1-y2的值（3）关键求出a的值，根据条件求出b、c用a表示，把点（-5，2）代入可得一个关系式25a-5b+c=0，再由对于同一x值有y1≤y3≤y2，得a+b+c=2，从而用a表示b、c，再由y1≤y3，y3≤y2定出a的值。
解：（1）填表
（2）y1-y2=2x-x2-1=-（x-1）2≤0
∴无论x为何实数均有y1≤y2
（3）把点（-5，2）代入y3=ax2+bx+c得
25a-5b+c=2……①
∵对于x的同一个值，有y1≤y3≤y2，即当x=1时，y1=2≤a+b+c≤2=y2
∴a+b+c=2……②
由①②得b=4a，c=2-5a
∴y3=ax2+4ax+（2-5a）
由已知y1≤y3
∴2x≤ax2+4ax+（2-5a）
整理：ax2+（4a-2）x+（2-5a）≥0
a>0
△≤0
∴△=（4a-2）2-4a（2-5a）≤0
∴（3a-1）2≤0 ∴a=■
又由已知y3≤y2
∴ax2+4ax+（2-5a）≤x2+1
整理：（a-1）x2+4ax+（1-5a）≤0
a-1<0
△≤0
△=（4a）2-4（a-1）（1-5a）≤0
∴（3a-1）2≤0
∴3a-1=0
a=■ ∵a<1 ∴a=■
综上所述y3=■x2+■x+■即为所求。
[归纳点评]此题难点在第（3），第一个a、b、c的关系式比较简单，直接把点代入，而第二个关系式是由表中看出，当x=1时，y1=y2=2，而y3夹在中间，从而可得a+b+c=2，由y1≤y3求出a的值，再由y3≤y2求出a的值，均为■。
2005
已知二次函数y=ax2+bx+c
（1）若a=2，c=-3，且二次函数过（-1，-2），求b
（2）若a=2，b+c=-2，b>c过（p，-2）点，求证b≥0
（3）若a+b+c=0，a>b>c，且过（q，-a），试问当自变量x=q+4时y=ax2+bx+c所对应的函数值是否大于0，并证明结论
[思路点拨]（1）把值分别代入即可求b的值。
（2）把已知条件代入解析式得关于p的方程，再利用“△”讨论b的范围从而证得b≥0。
（3）由a+b+c=0知二次方程 ax2+bx+c=0必有一根为1，由根与系数的关系可求出q+4的取值范围。再把点（q，-a）代入抛物线解析式，由△≥0可得a>b≥0，从而可求出当x=q+4时y>0。
解：（1）当a=2，c=-3，y=2x2+bx-3，又过（-1，-2）点 ∴b=1
（2）当a=2，b+c=-2，二次函数化为y=2x2+bx-（b+2）过（p，-2），把点代入得2p2+bp-b=0 ∴p是此方程的根
△=b2+8b=b（b+8）
又 b+c=-2
b>c
∴b>-b-2
∴b>-1
∴b+8>0 ∴b≥0
（3）由 a+b+c=0
a>b>c ∴a>0，c<0
又知ax2+bx+c=0有一根为1，由根与系数关系
x1+x2=-■
x1·x2=■
不妨设x1=1
∴x2=■ 又∵过（q，-a）点
当x=q时，y=-a<0 ∴■
∴■+4
再把点（q，-a）代入抛物线y=ax2+bx+c得aq2+bq+c+a=0 （q为方程的根）
∴△=b2-4a（a+c）=b2-4a（-b）=b2+4ab=b（b+4a）=b（3a-c）≥0
a>0
c<0
∴b≥0 ∵a>b≥0
2a≥a+b=-c
2a>-c
∴■>-2
∴■+4>-2+4=2>1
∴q+4>1
∴当x=q+4时，y的值大于0
[归纳点评]难点在（3）采用了数形结合思想，把点（q，-a）代入解析式，当x=q时y=-a<0（∵a>0）
∴可知y的值在x轴下方
即x21，则y>0。
2006
已知抛物线y=ax2+bx+c顶点为（2，4）
（1）试用含a的代数式表示b、c。
（2）若直线y=kx+4（k≠0）与y轴及抛物线依次交于D、E、F且
S△ODE:S△OEF=1:3，O为坐标原点，试用含a的代数式表示k。
（3）在（2）的条件下若线段EF的长为m，且满足3■≤m≤3■，试确定a的取值范围。
[思路点拨]（1）把顶点代入即可求得b=-4a，c=4a+4（2）直线和抛物线相交联立解方程组设出E、F的坐标，把面积比S△ODE:S△OEF=1:3可化为xE:xF=1:4，从而确定k的值。
（3）分类讨论，由（2）得k=a或k=-9a，m2=EF2=（xE-xF）2+（yE-yF）2代入3■≤m≤3■，从而定出a的范围。
解：（1）∵顶点为（2，4），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+4=ax2-4ax+4a+4
∴b=-4a，c=4a+4
（2）直线与抛物线相交
y=kx+4
y=ax2-4ax+4a+4
整理：ax2-（4a+k）x+4a=0……（*）
设E（xE，yE），F（xF，yF）
xE+xF=■……①
xE·xF=4……②
由②知xE、xF同号
S△ODE：S△OEF=1：3即S△ODE：S△ODF=1：4
■OD·|xE|:■OD·|xF|=1：4
∴xE:xF=1:4，把xF=4xE代入②
解得xF=4，xE=1或xF=-4，xE=-1
∴由①■=±5
∴k=a或k=-9a
经检验k=a，k=-9a，△>0，是方程（*）的根。
（3）由勾股定理m2=（xF-xE）2+（yF-yE）2
而（xF-xE）2=9
由yF=kxF+4，yE=kxE+4得（yF-yE）2=k2（xF-xE）2=9k2
∴m2=9（1+k2） ∴m=3■
由已知3■≤m≤3■
∴■≤■≤■，即1≤k2≤4
∴1≤k≤2或-2≤k≤-1
当k=a时，有1≤a≤2或-2≤a≤-1
当k=-9a时有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1
即-■≤a≤-■，或■≤a≤■
[归纳点评]第（2）还可以用两点间距离公式，有E（xE，yE），F（xF，yF），则m=EF=■，直接代入3■≤m≤3■，可求a的范围。
2007
已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1、x2，且满足x1>0，x2-x1>1
（1）证明c>0
（2）证明b2>2（b+2c）
（3）对于二次函数y=x2+bx+c，若自变量取值为x0，其对应的值为y0，当0
[思路点拨]（1）把方程化为一般式，再由根与系数的关系及已知条件可得c>0（2）由根的判别式△>0可得（3）把（x0，y0）代入抛物线解析式，把x1代入方程，再用比差法即y0-x1的正负来确定。
解：（1）把方程化为x2+（b-1）x+c=0
x1+x2=1-b，x1·x2=c……①
由已知x1>0，x2-x1>1
∴x2>x1+1>0……②
由①②知c>0
（2）方程x2+（b-1）x+c=0
x1、x2为不等实根
∴△=（b-1）2-4c>0
b2>2b+4c=2（b+2c）
（3）当0x1
把（x0，y0）代入抛物线解析式y0=x02+bx0+c
把x1代入方程x1=x12+bx1+c
y0-x1=x02-x12+b（x0-x1）=（x0-x1）（x0+x1+b）
由已知x0
又∵x2-x1>1 ∴x2>x1+1
两边同加x1得
x1+x2>2x1+1（x1+x2=1-b）
∴1-b>2x1+1，2x1+b<0（∵0
∴y0-x1>0 ∴y0>x1
[归纳点评]第（2）问可采用2007年标答上的方法，同学们对照看哪种简单，第（3）问用比差法。
以上是我们对压轴题的分析，有的采用了与标答不同的解法，仅供参考。
∴
{
{
∴b>k
{
{
{
{
{
∴b>-3k
b>k
b>-3k
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y1=2x -6 -4 -2 0 2 4 6
y2=x2+1 10 5 2 1 2 5 10
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y1=2x
y2=x2+1
∴
{
∴
{
{
{
∵
{
∵
{
{
∴3a-c>0
∴
{
{
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