1.试求点 到平面 的距离.
解:设 是平面 上任意一点,问题等价于 距离的最小值. 约束条件为 . 由此设拉格朗日函数 + 解方程组 得唯一驻点 . 所以, .#
2.设有二阶倒数,且 又 求证 .
解:因为 且 连续(因为 有二阶倒数) 所以 . 并且 . 设 则 , 所以 在定义域上为上凹. 令 ,得 显然 为其极小值点. 而 所以 ,从而 .#
3.求 .
解:= = #
4.已知方程 的两个根一个比1大,一个比1小,求 的取值范围.
解:设 则 , 在 处取极小值. 由函数性质,只要 ,就有两个符合给定条件的根. 即求 解之得 .#
5、在 的展开式中,常数项是多少?.
解: 而 所以,只有当 为偶数, 时,得常数项. 所以, =393.#
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