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（理工类，专科）
一、填空（每题4分，共8分，计32分） 1.设，则( )
2.设,则( )
3.设，则( )
4.过曲线上任一点处的切线方程为( )
5.( )
6.与向量均垂直的单位向量是（ ）
7.设，则（ ）
8.设过某曲线上任一点出的切线率为且该曲线过原点，则该曲线的方程为（ ）
二、计算题（每题10分，共4分，计40分） 9.求
10.求
11.设D:且求
12.求方程的通解
三、应用题（每题10分，共2分，计20分）
13.设由直线由y=x,y=-2x及x=c(c>0>围成的平面图形的面积为6，求c值。
14．过抛物线上点（2，4）作切线，求此切线与抛物线围成平面图形的面积S。
四、证明题（共8分） 15．设函数在[a,b]上连续且，求证：在（a,b）内，曲线y=f(x)与y=g(x)至少有一个交点。
参考答案：
填空 1．
解：
2．
解：，可知，；所以
3．
解：，得
4．
解：
因此得出切方程
5．
解：
6．
解：设所求单位向量为，由 l , l ,推，其中，并且，因此
7．
解：
8．
j解；由题，设曲线方程：且
因为y(0)=0,所以c=0,因此y=arctgx
计算题 9．解：
10．解：
11．
12．解：求非齐次方程（I）相应的齐次方程（II），其特征方程的特征根为，所以方程（II）的通解为，由方程（II）的非齐次项sinx,可设方程（I）的特解为，且，将之均代入方程（I），得：，即：，，所以方程（I）的特解为
应用题 13．解：由
，得取c=2
14．解：据题意，设切线方程为，由且，得,得：或所以：
证明题 15．证：据题意，显然在[a,b]上连续且，据闭区间上连续函数的零值定理，可知：在（a,b）内至少存在一点，使,即，所以，曲线y=g(x)与y=g(x)在（a,b）内至少有一个公共点，即至少存在一个交点。 证毕 (由网友党剑新提供)
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